Эффект Комптона в трактовке Шредингера. Дж. Стрнад.

Эрвин Шредингер

Рис.1. Условие Брэгга в "системе взаимодейсьвия" S': зеркальное отражение падающего рентгеновского излучения на периодической плотности вероятности.

*В специальной теории относительности фаза волновой функции равна скалярному произведению двух 4-векторов и таким образом, лоренц-инвариантна. Дело обстоит не так в галилеевской относительности. Поэтому релятивистское рассмотрение оказывается необходимым. Однако, нетрудно получить нерелятивистское приближение для данных уравнений Strnad 1986a).

** Стоит упомянуть, что с подобной ситуацией сталкиваются в лазере на свободных электронах, в котором ультрарелятивистский электронный пучок ориентируется параллельно лазерному лучу с помощью пространственно периодического ондуляторного магнитного поля. В лабораторной системе лазерное излучение имеет длину волны намного короче, чем период ондуляторного поля, но частоты обоих полей равны благодаря допплеровскому сдвигу, вызванному движением электронов. Bambini и др. (1979) ввели систему отсчета, движущуюся в направлении электронного пучка, в котором периодическая структура описана псевдорадиационным полем и процесс излучения как вынужденное рассеяние, то есть резонансное рассеяние, преобразующее псевдорадиационного поля в истинное поле излучения. Эта система отсчета некоторые общие черты с “системой взаимодействия” S'. Однако, ее скорость в лабораторной системе √[c(1 - 2λ/L)] зависит от периода статического ондуляторного поля L и лазерной длины волны λ, но не от скорости электронов.

Эффект Комптона в трактовке Шредингера. Дж. Стрнад, 1986.
Перевод с англ. Л.Регельсон.

Eur. J. Phys. 7 (1986)
Department of Physics and J. Stefan Institute, University of Ljubljana. 61111 Ljubljana, Yugoslavia.
Поступило 12 августа 1985, в окончательной редакции 30 октября 1985.

   Резюме. Формула Комптона получена в полуклассическом приближении в соответствии с подходом Шредингера. Рентгеновское излучение рассматривается в рамках классической электродинамики, тогда как электроны – в рамках квантовой механики. Суперпозиция волновых функций падающего и рассеянного электрона образует движущуюся периодическую решетку плотности вероятности. Падающее рентгеновское излучение зеркально отражается от этой структуры. Результаты преобразованы назад в собственную систему координат электрона с учетом допплеровского сдвига. Наконец, добавлены некоторые замечания, имеющие отношение к философии физики.

   1. Введение
    В учебниках по квантовой физике образ светового кванта, или фотона обычно вводится из рассмотрения фотоэлектрического эффекта. Фотону излучения с угловой частотой ω приписывается энергия ћω. Этот вывод подтверждается рассмотрением эффекта Комптона как упругого соударения фотона со свободным покоющимся электроном. При этом фотону с энергией ћω приписывается импульс ћω/c.

Эта процедура в определенном смысле вводит в заблуждение, так как она подразумевает, что идея фотона является единственной возможностью для объяснения эффекта Комптона. Поэтому целесообразно обсудить другие способы описания эффекта, не требующие введения идеи фотона (Dodd 1983, Kidd и другие 1985, Kuhn и 1985 Stöckler).

Недавно Dodd (1983) в этом журнале с дидактической точки зрения произвел пересмотр трактовки Комптона (1923), рассмотрев эффект с позиций классической электродинамики. Другая трактовка эффекта Комптона принадлежит Шредингеру (1927). Эта трактовка редко упоминается в учебниках, и даже в этих случаях преимущественно в терминах импульса и сохранения энергии (например, Döring 1973). В § 2 представлено прямое и простое релятивистское вычисление, которое в определенном смысле, является развитием подхода Dodd. Раздел 3 содержит краткое обсуждение теоретических основ этой трактовки Комптон -эффекта.

2. Вычисление в духе Шредингера

В начале своей статьи Шредингер (1927) написал: “Как хорошо известно, согласно волновой теории света, все изменения частоты и направления волнового фронта могут быть предсказаны на основе очень простого и общего рассмотрения фаз, не входя в детали явления... Если верно, что гипотеза волн Де Бройля дает нам инструмент, эквивалентный волновой оптике, для описания тех явлений, которые прежде понимались исключительно как движения частиц, мы должны ожидать и требовать, чтобы на основе простого рассмотрения фаз можно было объяснить изменения в направлении и частоте волн эфира в эффекте Комптона, связанные с изменением скорости электрона”.

Шредингер утверждал, что рентгеновское излучение может дифрагировать на стоячей "волне плотности заряда", созданной падающим и отраженным электроном, так же как свет дифрагирует на стоячей волне ультразвука (Born and Wolf 1959).

Поскольку плотность заряда не стационарна в лабораторной системе координат, должен быть принят во внимание эффект Допплера.

Примем в качестве оси Х лабораторной системы отсчета направление рассеянного электрона. Первоначально электрон имеет энергию mc² и импульс 0, а после рассеяния – энергию γmc² и импульс γβmc. Здесь m – масса покоя электрона, v – его скорость после отдачи, c – скорость света,

β =v/c и γ =1/√(1 – β²).

В лабораторной системе суперпозиция волновых функций падающего и рассеянного электрона

ψ = ½ exp (– imc²) + ½ exp[imcγ(βx – ct)/ћ]

Ради простоты коэффициенты приняты действительными и равными. Соответствующая плотность вероятности

ψ*ψ = cos²[(Px – Wt)/2ћ]

с W= mc²(γ –1) и P = γβmc , не стационарна в лабораторной системе из-за члена Wt/2ћ. Мы можем, однако, найти инерциальную систему отсчета S', начало координат которой движется со скоростью vo = βo c вдоль оси X, в которой плотность вероятности стационарна*. Условие, что плотность вероятности стационарна,

W' = γo(W – βo cP) = 0

Оттуда получаем

βo =√[(γ –1)/(γ+1)]γo = √[½(γ+1)]

P' = γo (P – βoW/c)=√mc[2(γ–1)]

В “системе взаимодействия” S' у падающий и рассеянный электрон имеют противоположные импульсы **.

Пространственный период, т.е. расстояние между прилегающими плоскостями максимальной электронной плотности, может быть выведено из

ψ*ψ' = cos²[(P'x')/2ћ] где P'а')/2ћ = π

Отсюда следует соотношение Де-Бройлевского типа

а' = h/P'

Теперь сформулируем условие Брэгга для системы отсчета S' (Рис.1)

2а' cosφ' = nλ'о (1)

где λ'о = 2πс/ω'o – длина волны, ω'o – угловая частота и φ' – угол между осью Х и падающим излучением в системе S' . Мы полагаем n = 1, так как преобразование Фурье показывает, что при ифракции на cos² - решетке выживают только максимумы порядка 0 и ±1 (Hecht and Zajac 1979).

Условие (1) может быть переписано в виде

ω'ocos φ' = (mc²/ћ)γoβo = ωo√½ (γ –1) (2)

с комптоновской угловой частотой

ωo = mc²/ћ

Условие (2) может быть интерпретировано как сохранение импульса в системе S'. Полный импульс, составленный из импульса электрона и импульса радиационного поля, перед рассеянием равен полному импульсу после рассеяния:

x' компоненты:

– γoβo mc + (ћω'o/c), cos φ'

γo βo mc – (ћω'o/c), cos φ'

y' компоненты:

(ћω'o/c), sin φ'

Энергия в системе S' сохраняется автоматически, поскольку ни энергия электрона, ни энергия радиационного поля не меняется при рассеивании.

Теперь мы преобразуем все выражения обратно к лабораторной системе S. Как уже установлено, 4-импульс электрона до и после рассеивания

(γomc, – γo βo mc, 0, 0) и (γomc, γoβo mc, 0, 0)

соответственно, переходит в (mc, 0, 0,0) и (γmc, γβ mc, 0, 0)

4-вектор радиационного поля прежде и после рассеяния

[(ω'o/c, (ω'o/c), cos φ', (ω'o/c), cosφ', 0]

[(ω'o/c, –(ω'o/c), cosφ', (ω'o/c), cosφ', 0]

соответственно, обратным преобразованием Лоренца, известным для эффекта Допплера (см. например. Moller 1972)

ωo = γo ω'o(1 + βo, cos φ')

ωo cos φ = γo ω'o (cos φ' + βo)

ωo sin φ = ω'o sin φ'

получим (Рис. 2)

[γo ω'o(1 + βo, cosφ')/c, γo ω'o(cosφ' + βo), ω'o(sinφ'/ с, 0]

= [ωo/c, ωo, cosφ / c, ωocosφ / c, 0] и

[γo ω'o(1 – βo, cosφ')/c, γo ω'o (βo – cos φ'), ω'o (sinφ' / с, 0]

= [γωo(1 – cos φ)/c, ωo(β – cos φ)/c, ωosinφ / с, 0]

На последнем шаге мы выражаем ω'o и φ' с ωo и φ через преобразование Лоренца

ω'o = γo ωo(1 – βocos φ)

ω'o cosφ' = γo ωo(cos φ – βo)

с использованием отношений, соединяющих βo и γo с β и γ. То же самое преобразование переводит уравнение (2) в условие Брэгга в лабораторной системе S:

ωocosφ = (ωo + ωc)βo (4)

В лабораторной системе S энергия и импульс сохраняются, как и следовало ожидать.

Для энергии

mc² + ћωo = γmc² + γћωo(1 – β cos φ)

Для импульса

x компоненты:

ћωоcos φ/c = γβmc + γћωo(β – cos φ)/с (5)

y компоненты:

ћωosinφ / c = ћωo sinφ / c

Эти уравнения могут быть доказаны путем непосредственного использования соотношений, соединяющих βo и γo с β и γ и условия (4).

Введя угол рассеяния рентгеновского излучения θ по отношению к оси Х, с помощью несложных вычислений получаем известное уравнение для угловой частоты рассеянного рентгеновского излучения в системе S

ω = ωo / [1 + (ωo/ωc)(1 – cos θ)]

Вместе с тем мы должны принять во внимание систему отсчета S' относительно рассеянного электрона. Это можно вывести формально, записав уравнения

[γωo(β – cosφ)] / c = [ωcos(φ + θ)] / c

(ωosinφ) / c = [ωocos(φ + θ)] / c

или обычным требованием сохранения компонентов импульса в направлении падающего рентгеновского излучения и нормали к этому направлению.

3. Обсуждение

Шредингеровская трактовка эффекта Комптона напоминает нам, что теория не может быть выведена непосредственно из эксперимента; тот же самый результат может быть объяснен с помощью двух различных теорий. Это также показывает, что отношение физика к эмпирическим данным часто управляется его общими убеждениями. Известно, что Шредингер не любил "квантовые скачки" и предпочитал понятие непрерывных волн.

Эффект Комптона может быть рассмотрен с помощью различных теоретических подходов с различными уровнями точности. Первый уровень представлен трактовкой Комптона, второй – трактовкой Шредингера и третий – квантовой электродинамикой (КЭД). Укажем кратко основные характеристики трех подходов. Конечно, КЭД не может рассматриваться в вводных курсах квантовой физики. Тем не менее необходимо иметь уверенность, что при описании эффекта Комптона как упругого столкновения фотона с электроном использованы основные положения КЭД. В КЭД фотоны вводятся как возбуждения поля излучения (Strnad 1986b) и не имеет смысла приписывать им какое-то положение: фотон принадлежит всему объему квантованного поля.

Трактовка Шредингера принадлежит области полуклассического

приближения, в котором частицы с массой покоя описываются в рамках квантовой механики а поля излучения – в рамках классической электродинамики. В этом приближении нет места для фотонов. Несмотря на это, много элементарных процессов могут быть успешно описаны в этом приближении, например фотоэлектрический эффект, поглощение, вынужденное испускание. Факт, что дело обстоит не так для некоторых процессов, например в случае спонтанного испускания, доказывает превосходство КЭД. В трактовке Шредингером эффекта Комптона константа Планка естественным образом вводится через электронную волновую функцию. Условие Брэгга (1) – (3) не только гарантирует сохранение импульса в системе S', оно также показывает, что наряду с электронным импульсом существует соответствующий импульс поля излучения. Таким образом энергию ћω'o и импульс ћω'o/c нельзя рассматривать, как имеющие отношение к кванту а скорее к приближению, введенному Dodd (1983). Отношение энергии и импульса поля излучения может быть получено в классической электродинамике.

В трактовке Комтона изучается отклик точечного заряда на электромагнитное излучение, причем движение заряда описываеися с помощью неквантовой механики а излучение – с помощью классической электродинамики. Константа Планка должна быть введена отдельным шагом: или путем сравнения конечного уравнения с экспериментальными результатами или непосредственно из уравнения (6) (Dodd 1983). Неудивительно, что в этом случае должно быть введено дополнительное предположение ad hoc.

Необходимо тщательно различать эти три уровня. Неразличение трактовок Шредингера и Комтона может ввести читателей в заблуждение (Kidd и др. 1985). Таким образом мы могли даже установить принцип относительности для философии физики: любое утверждение имеет смысл только относительно теоретического фундамента.

В заключение, трактовка эффекта Комптона в полуклассическом приближении не подходит для общего вводного курса квантовой физики. Широкое употребление специальной относительности в квантовом контексте может раздражать студентов. Однако, кажется достаточно интересным использовать это иногда как дополнительную тему, с целью показать, что идея фотона не является единственной возможностью для объяснения эффекта Комптона. Размышления в области философии физики, возможно, неуместны для студентов, но могут быть поучительными для преподавателей.

Благодарности

Эта работа была выполнена во время пребывания в Institut Didaktik der Physik, Justus-Liebig-Universitat, Giessen, ФРГ. Благодарю Профессора W. Kuhn за гостеприимство и Raziskovalna skupnost Slovenije за грант.

Ссылки

Bambini A., Renieri A. and Stenholm S. 1979 Phys. Rev. A 19 2013-25.

Born M. and Wolf E. 1939 Principles of Optics (London: Pergamon) p.590.

Compton A.H. 1923 Phys. Rev. 21, 433-502

Dodd J.N. 1983 Eur. J. Phys. 4, 203-11

Döring W. 1973 Atomphysik una Quantenmechanik (Berlin: de Gruyter) p. 249

Hecht E. and Zajac A. 1979 Optics (Reading, Mass.: Addison-Wesley) p. 3 97

Kallmann H. and Mark H. 1926 Erg. ex. Naturwiss. 5, 267-324

Kidd R. Ardini J. and Anton A. 1985 Am. J. Phys. 53, 641- 644

Kuhn W. and Stockier M. 1985 Praxis Naturwiss. 34, 25-37

Levy-Leblond J-M. 1936 Am. J. Phys. 44, 1130-2

Möller C. 1972, The Theory of Relativity (Oxford: Oxford University Press), p.60.

Srhrödinger E. 1927.4nn. Phys. 28, 257-64

Strnad J. 1986a Praxis Naturwiss, in press

—— 1986b Am. J. Phys. 54. 650-2